Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами

х2= -а(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчленx2 + (5a + 2)x + 4a2 + 2a = (x + 4a + 2)(x + a)

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихованной области с окружностью, где

a Î (a1; a2) È ( a3 ; a4 ), а значения a1 и a4 находятся из системы

x + a = 0

x2 + a2 = 4

а значения a1 и a4 находятся из системы

x + 4a + 2 = 0

x2 + a2 = 4

Решая эти системы, получаем, что

a1 = , a4 = , a2 = -, a3 = 0.

Ответ: a Î ( - ) È ( 0; ).

2) Решить неравенство

Решение:

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

2a – 3 ≠ 0 2x + 1 ≠ 0

a ≠ x ≠ -

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству:

=

Разложим числитель на множители:

a2 - 3а + 2 = 0

т. к. а1 = 1, а2 = 2, то

=

Разделим обе части равенства на (1 - a) при a ≠ 1. Но a = 1 является решением: левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при

x Î R.

2ax + 2a – 3x -3 = 2ax + a - 4x – 2

x = 1- x

Строим в ПСК хОа графики функций

a ¹ , x ¹ , a = 1, x = 1- a

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

Найдем точки пересечения графиков

a1 = 1 ; a2 =

Зададим прямую a = сonst и будем сдвигать её от - ¥ до + ¥.

Ответ:

при a < 1 < x £ 1 – a

при a = 1 x Î R

при 1< a < x <