Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 класса

Точки A и B симметричны относительно точки M.

Построим точку D, симметричную C относительно M, и соединим ее с точками A и B.

Полученный четырехугольник является параллелограммом, т.к. его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Исходя из того, что один из углов прямой, можно сделать вывод — это прямоугольник, а значит диагонали CD и AB этого прямоугольника равны.

А значит CM=½AB.

9 класс.

Пример. Диагонали правильного десятиугольника A1A2…A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке B. Докажите, что A2A7=2R, A4A10=2r, где r — радиус вписанной окружности.

	A4

A1 и A7 симметричны относительно точки O — центра описанной окружности, а значит и центра симметрии данного правильного десятиугольника. Хорда A2A7 проходит через центр окружности, а значит является ее диаметром, т.е. A2A7=2R. A4 и A10 симметричны относительно A2A7, т.е. A4A10 A2A7. Стороны A4A5 и A9A10 — касательные для вписанной окружности, а значит A4A10=2r.

Рассмотренные примеры показывают, что введение симметричных элементов помогает сформулировать эквивалентную вспомогательную задачу, решение которой гораздо очевиднее исходной.

Применение нескольких эвристических приемов к решению задачи.

Для решения трудной задачи нередко приходится воспользоваться не одним, а несколькими приемами эвристической деятельности.

8 класс.

O1

Пример. Дан угол O1OO2 и внутри него две точки M и P. Постройте трехзвенную ломаную MABP минимального периметра так, чтобы концами ее были точки M и P, а точки A и B принадлежали лучам OO1 и OO2 соответственно.

Менее результативная вспомогательная задача. Построить ломаную MAP, чтобы MA+AP имела наименьшую длину и вершина A лежит на данной прямой a (специализация).

Возможны два случая:

		M				M

В первом случае точки M и P лежат в разных полуплоскостях относительно прямой a. В этом случае MA+AP будет минимальной, если точки M, A, P принадлежат одной прямой.

Второй случай — точки M и P принадлежат одной полуплоскости относительно прямой a. Решение в этом случае сводится с помощью симметрии к предыдущему (симметрия).

Решение исходной задачи можно найти с помощью суперпозиции рассмотренных частных случаев.

Искомая ломаная будет иметь минимальную длину когда точки M´, A, B, P´будут расположены на одной прямой (M´ и P´точки симметричные M и P относительно лучам OO1 и OO2 соответственно).

9 класс.

Пример. Исходная задача. На сторонах данного угла MQN, величина которого равна 30˚, выбраны четыре точки: A1 и A на луче QM, B1 и B на луче QN, причем |QA1|=20см, |QA|=30см, |QB1|=20см, |QB|=40см. Какую фигуру образуют все такие точки F указанного угла, для которых сумма площадей ΔA1FA и ΔB1FB равна 110 см2.

а) Рассмотрим боле общую задачу:

Более результативная вспомогательная задача. На сторонах QM и QN указанного в основной задаче угла произвольно выбраны соответственно отрезки A1A и B1B, причем |A1A|=10см, |B1B|=20см. найти множество всех таких точек F, для которых SA FA+SB FB=110см2(обобщение).