Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 класса

В пособиях для учителей можно найти ответы и решения к помещенным в учебниках задачам; но в случае нешаблонной задачи ему остается неясным как помочь ученику самостоятельно получить ответ к задаче.

Одним из важных моментов совершенствования методов обучения должно стать формирование у учащихся творческого, эвристического мышления. Учитель должен не только дать школьникам некоторый комплект математических фактов, сопровождаемых дедуктивными рассуждениями, но и развить их математическую индукцию, привить навыки самостоятельного поиска новых закономерностей, ознакомить с общими, едиными приемами самостоятельного целенаправленного поиска решения задач (доказательства теорем). И хотя методов, гарантирующих решение любой задачи, не существует, учащийся должен получить в школе представление о тех общих приемах, которые особенно часто облегчают поиск решения задач.

Редукция. Реализуем рассмотренную теорию в решении конкретной математической задачи, применяя методику сведения исходной задачи к системе вспомогательных, т.е. используя редукцию. Это важный прием, которым учащиеся часто пользуются при решении, состоит в выделении вспомогательных подзадач, к решению которых сводится решение исходной задачи.

7 класс.

Пример. Исходная задача. Доказать, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Иначе говоря, a=½c.

Следуя этой формулировке, учащиеся, как правило, соединяют точку A с точкой M, являющейся серединой гипотенузы, и не находят пути решения.

Лишь после того, как им предлагается сделать простейшее тождественное преобразование:

a=½c; 2a=c,

они почти мгновенно находят идею решения, продолжая катет влево.

Пример. Построить треугольник по данному основанию a, противолежащему углу α и боковой стороне c.

Замечание. Как правило, геометрические задачи на построение сводятся к построению точки. Условие состоит из двух частей, в одной из которых существенную роль играет данное h, в другой — α. Каждое из условий определяет геометрическое место точек (в первом случае — все точки, удаленные от данной прямой на данное расстояние, во втором — все точки, являющиеся вершиной данного угла, стороны которого проходят через две данные точки). Пересечение этих геометрических мест даст нам искомую точку.

8 класс.

Пример. Исходная задача. В параллелограмме отношения сторон и отношение диагоналей одинаковы и равны 0,5. Из вершины тупого угла A опущена высота AE на большую сторону CD. Найти отношение длины отрезка DE к длине CE.

Введя буквенные обозначения для длин сторон, видим, что ∆CAD и ∆BDC, каждый в отдельности, содержат всю информацию задачи.

Значит, исходная задача эквивалентна более простой.

Первая эквивалентная вспомогательная задача. В треугольнике одна из сторон вдвое больше другой, а третья сторона равна медиане, проведенной к ней. Найти отношение длины отрезка DE к длине CE, если AE — высота.

Далее воспользуемся стандартным правилом: отношение возможно найти, если все элементы будут выражены или через x, или через y. Так мы приходим к формулировке менее результативной вспомогательной задачи.

Менее результативная вспомогательная задача. В треугольнике одна из сторон вдвое больше другой, а третье сторона равна медиане, проведенной к ней. Найти выражение сторон через эту медиану.

Сформулированная задача алгоритмического типа, так как существует стандартное соотношение между требуемыми элементами:

OC=½√2(AC2+4CD2)-AD2,

Y=½√2(x2+4x2)-y2.

После преобразования получим, что y=x√2 и исходная задача формулируется в виде второй эквивалентной задачи.

Вторая эквивалентная задача. В ΔACD стороны выражаются, как показано на следующем рисунке. Определить отношение длины отрезка DE к длине CE, если — AE высота. Подобная задача представляет также задачу алгоритмического типа.

Решение этой задачи дает ответ на вопрос, поставленный первоначально: 5/3.

9 класс.

Пример. Исходная задача. Около окружности описана равнобокая трапеция ABCD (AD||BC, |AD|>|BC|). Докажите, что точка пересечения диагоналей трапеции P лежит на отрезке T1T2, соединяющим точки касания боковых сторон трапеции с окружностью.

	A			D