Уроки применения знаний, умений и навыков

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, P и Q – внутренние точки граней соответственно ABCD и A1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки P и Q и параллельной прямой СС1 (рис. 34).

Решение: Проведем прямые PР1 и QQ1, параллельные СС1. Они задают плоскость, параллельную СС1 и проходящую через точки P и Q.

2.13. Дан куб ABCDA1B1C1D1; точка Р – середина ребра АА1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р и D1 параллельно диагонали АС грани ABCD куба (рис. 35). Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 10.

Решение: АС1 || (РВ1D1) (в этом можно убедиться, применив свойство диагоналей в параллелограмме A1B1C1D1 и теорему Фалеса к треугольнику АА1С1). По теореме Пифагора: . По формуле Герона: .

2.14. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости (рис. 36).

Решение: Пусть прямые а и b скрещиваются. Выберем на прямой а произвольно точку А и проведем прямую с, параллельную b (через точку, не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной). Прямые а и с задают плоскость β. По признаку параллельности прямой и плоскости: b || β. Аналогично, проведем прямую d в плоскости α.

α || β (если две пересекающиеся прямые плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны).

3.06. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α, которая проходит через внутреннюю точку М основания ABCDE параллельно грани РAB (рис. 37).

Рис. 37

Решение: Так как прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны, а плоскость α параллельна грани РАВ, то: а) прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания пирамиды должна быть параллельна АВ; б) прямая пересечения α с плоскостью грани РВС – параллельна АР; в) прямая пересечения α с плоскостью РАD – параллельна РА, поэтому проводим: 1) через точку М прямую KF || AB; 2) FH || PA; 3) KR || PB; 4) ML || AP. Пятиугольник HLRKF – искомое сечение. В доказательстве используется признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей.

3.07. Точки А, В и С лежат в плоскости α и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки АА1, ВВ1 и СС1 расположены по одну сторону от плоскости α. Докажите, что (А1В1С1) || (АВС) (рис. 38).

Решение: ВВ1С1С – параллелограмм (из параллельности и равенства ВВ1 и СС1), следовательно ВС || В1С1. АВ || А1В1 (аналогично). По теореме о параллельности плоскостей (по двум пересекающимся прямым): (А1В1С1) || (АВС).