Разложение степенной функции в биноминальный ряд

п.1 Производная степенной функции

Для начала найдём производные от некоторых простейших функций. Пусть .

Имеем

то есть, производная есть постоянная величина, равная 1. Это очевидно, ибо - линейная функция и скорость её изменения постоянна.

Если , то

Пусть , тогда

легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции при . Докажем, что и вообще производная от при любом целом положительном показателе равна .

Имеем

Выражение, стоящее в числителе, преобразуем по формуле бинома Ньютона:

.

Значит, .

В правой части последнего равенства стоит сумма слагаемых, первое из которых не зависит от , а остальные стремятся к нулю вместе с . Поэтому

[4].

Итак, степенная функция при целом положительном имеет производную, равную .

При из найденной общей формулы следуют формулы, выведенные выше.

Докажем, что этот результат верен и для любого показателя , например,

.

Логарифмируем функцию , считая :

.

Дифференцируя, получим , откуда .

Если , то для тех показателей степени, при которых функция определена, её можно записать в виде , дифференцируя полученное выражение как сложную функцию, снова придём к доказываемой формуле.

Таким образом, производная степенной функции , где -любое вещественное число, равна показателю степени , умноженному на степень аргумента с показателем, меньшим на единицу, то есть .

Разложение степенной функции в биноминальный ряд

Разложим в ряд Маклорена функцию , где - любое действительное число.