Обобщение и систематизация способов построения степенных функций во множестве рациональных, действительных и в поле комплексных чисел

Понятие степенной функции возникло свыше 400 лет назад и имело практическую значимость. Понятия второй и третьей степени появилось в связи с определением площади квадрата и объема куба. Вавилоняне составляли и пользовались таблицами квадратов и кубов чисел.

Степенная функция играла важную роль в исследовании и развитии математики. Например, Декарт пользовался параболой, которая являлась графиком квадратичной функции для решения уравнения четвертой степени. Кубическую параболу французский математик, отец начертательной геометрии Г. Монж, использовал для построения действительных корней кубических уравнений.

Необходимость изучения степенной функции обнаруживалась как в самой математике, так и в ее приложениях в других науках и в технической практике. Например, кубическая парабола применяется на железнодорожных линиях, а квадратичная функция используется при строительстве шоссейных дорог на неровной местности в связи с вычислением площадей поперечных сечений насыпей и выемок. Аналогичные расчеты проводили строители при определении площади поперечного сечения, которая также зависит от глубины канала и рельефа местности.

Скорость равномерного движения выражается линейной функцией от времени движения: , а путь - квадратичными функциями: и . Зная эти функции, можно еще до запуска ракеты определить скорость ее движения и высоту, на которой она будет находиться в любой момент ее движения.

В самой математике со степенной функцией приходится встречаться при изучении многих вопросов причем, не только в алгебре, но и в геометрии, особенно при решении задач.

степенная функция электронное пособие

Вот почему степенная функция изучается в курсе высшей математики особенно подробно. Рассматриваются различные способы аналитического построения степенной функции, но все же некоторые вопросы остаются неосвещенными.

Таким образом, целью данной курсовой работы является систематизация и обобщение основных способов построения степенных функций как во множестве рациональных и действительных чисел, так и в поле комплексных чисел.

Объектом исследования являются элементарные функции.

Предметом исследования являются степенные функции.

В ходе выполнения данной курсовой работы преследовались следующие задачи:

1. Обобщение и систематизация основных способов построения степенных функций как во множестве рациональных и действительных чисел, так и в поле комплексных чисел.

2. Особое внимание уделить функциям с рациональным показателем, а именно, функциям арифметического корня, функции корня при n - нечетном, а также функции с дробным положительным рациональным показателем.

3. Исследование построения степенных функций с помощью разложения в ряд Маклорена и, как обобщение, биноминального ряда.

При решении этих задач использовались разнообразные методы исследования: анализ литературы по высшей математике, работ по истории математики, учебников и учебных пособий.

Практическая значимость исследования состоит в том, что:

1. Разработан теоретический минимум по теме "Степенная функция" в виде электронного конспекта.

2. Создано электронное пособие, содержащее обширный материал по вопросам данной темы, которые не рассматриваются в курсе высшей математики некоторых математических вузов, либо изучаются поверхностно.

Электронный конспект фондовых лекции может быть использован в учебном процессе для его усовершенствования и организации самостоятельной работы студентов.

Представленное электронное пособие может быть полезно студентам математического факультета, учителям математики для проведения факультативов в средних общеобразовательных школах, а так же уроков в классах (школах) с углубленным изучением математики.

Историческая справка. Развитие понятия степени. Символы и термины. Понятие степени, возникшее свыше 400 лет назад и первоначально означавшее произведение конечного числа равных сомножителей (степень с натуральным показателем). На протяжении веков неоднократно обобщалось и обогащалось по содержанию. Понятия второй и третьей степени числа появились, возможно, в связи с определением площади квадрата и объема куба. Вавилоняне составляли и пользовались таблицами квадратов и кубов чисел. Название квадраты и кубы для второй и третьей степени чисел древнегреческого происхождения. У Диофанта имеются специальные названия для первых шести натуральных степеней неизвестного, образованные комбинациями слов "дюнамис" (квадрат) и "кюбос" (куб) на основе аддитивного принципа. У него даны специальные названия и места первых отрицательных степеней неизвестного. Индийские ученые оперировали степенями с натуральными показателями до девяти включительно, называя их с помощью комбинации трех слов: "ва" (вторая степень, от слова "варга"-квадрат), "гха" (третья степень от "гхана"-тело, куб) и "гхома" (слово, указывающее на сложение показателей). Применялся мультипликативный принцип как основной: "ва-гха", например, означало шестую степень (2*3), "ва-ва-ва" - восьмую, "ва-гха-гхама" - пятую (2+3). Следует отметить, что до XVI века понятие степени относилось обычно не к числу вообще, а лишь к неизвестным в уравнениях. Средневековые математики, писавшие на арабском языке, решая уравнения, нередко исходили из квадрата неизвестного , называя его "мал" (имущество); само неизвестное называлось "жидр" (вообще, корень растения, а в данном случае - квадратный корень из ). При переводе на латынь в XII в. неизвестное стали называть res (вещь) или radix (корень), квадрат неизвестного - census (имущество), а позже potentia (сила, вероятно, прямой перевод диофантова дюнамис). Термин "степень" и есть перевод слова potentia. С тех пор и сохранился термин корень уравнения в смысле решения [3].

Как известно, итальянские математики пользовались термином cosa (по - итальянски - вещь) для обозначения неизвестного.

В 1494 году в Италии появилась одна из первых печатных книг по математике - "Сумма (знаний) по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" Луки Пачали. В ней неизвестное обозначается co (cosa), вторая его степень - ce (censo), третья - cu (cubo) и т.п. Эти обозначения были использованы и замечательным итальянским математиком Тармалья и проникли даже в Германию. Под влиянием итальянских математиков находился французский ученый Никола Шюке, живший в XV веке в Лионе, где находилось много эмигрантов из Италии. Шюке внес большой вклад в алгебру, и разработал ряд целесообразных символов для обозначения степени, предвосхитив в известной мере достижения ученых XVII века. Так, например, он писал … вместо современных …, явно вводя таким образом понятие показателя степени [3].

В конце XVI в.С. Стевин выражение записал так: 3 (3) +5 (2) - 4 (1) +6.

Ученик Стевина - голландский математик Альберт Жирар в своей книге "Новое изобретение в алгебре" (1629) пишет (2) 17 вместо нашего . Современная запись была введена Декартом в его "Геометрии" (1637).

Декарт не пользовался показателем для записи второй степени, т.е. записывал aa вместо . Лейбниц же применял знак , считая, что упор должен быть сделан на унификацию символики [3].

• Степенная функция с целым показателем
• Функция корня
• Степенная функция с действительным показателем
• Степенная функция с комплексным показателем
• Разложение степенной функции в биноминальный ряд
• Описание электронного пособия и фондовых лекций