Степенная функция с комплексным показателем

Посмотрим, во что эта функция будет переводить полуокружность. Имеем:

. (13)

Когда точка пробегает полуокружность от 1 до - 1, то меняется от 0 до значит, будет изменяться по положительной мнимой полуоси. Заметим, что когда точка описывает полуокружность в положительном направлении рис.14, то область полукруга остаётся слева. Из предыдущих формул (12) и (13) нетрудно видеть, каково будет направление соответствующего обхода на плоскости .

На нашем чертеже рис.14 оно обозначено стрелками. Так как отображенная область должна находиться также слева при обходе переменным полуоси и полуоси , то отсюда заключаем, что наш полукруг с помощью функции (12) отобразится на координатный угол плоскости рис.15. Для того, чтобы преобразовать полученный координатный угол в верхнюю полуплоскость, нужно взять: .

Итак, искомая функция напишется таким образом:

(14)

Как отобразить сектор с углом равным , радиуса единица на верхнюю полуплоскость? Очевидно, что функция будет переводить этот сектор в полукруг. Этот же последний с помощью уже знакомой нам функции (14) мы можем отобразить на верхнюю полуплоскость. Таким образом, искомая функция есть

(15)

Как отобразить область, заключённую между двумя пересекающимися под углом окружностями на верхнюю полуплоскость? Обозначая через и вершины данного двуугольника рис.16., берём линейную функцию

(16)

Эта функция переведёт точку в точку 0, точку в . Следовательно, одну дугу окружности линейная функция (16) переведёт в один луч, выходящий из нулевой точки, другую дугу окружности в другой луч, составляющий с первым угол , так как функция (16) в точке имеет производную, отличную от нуля. Остаётся отобразить угол, ограниченный двумя только что упомянутыми лучами, на полуплоскость. Это мы умеем делать. Итак, искомая функция имеет вид

. (17)

Степенная функция может быть определена следующим видом

. (18)

Она определена для всякого комплексного и любого комплексного . В силу многозначности степенная функция (18) многозначна. Каждому значению независимой переменной , как правило, соответствует счетное множество значений степени . Если в правой части (18) брать определённую ветвь , то будем получать соответствующую ветвь степенной функции.