Решение квадратных неравенств

где a1 = -a, b1 = -b, c1 = -c, причем a1 > 0 (то есть равносильно неравенству вида (7)).

Аналогично, при а < 0 неравенство ax2 + bx + c < 0 умножением на -1 сводится к равносильному неравенству вида (6).

Итак, рассмотрим неравенства (6) и (7), в которых, а > 0.

Исследование квадратного трехчлена позволяет утверждать, что

1) если D < 0, то неравенство (6) имеет место при всех действительных x, а неравенство (7) не имеет решений.

2)если D=0, то неравенство (6) имеет место при всех x, кроме x = - ,

а неравенство (7) не имеет решений;

3)если D > 0, то неравенство (6) выполняется при x < x1 и x > x2

( то есть вне отрезка [ x1, x2 ], где x1 < x2 — корни трехчлена),

а неравенство (7) выполняется при x1 < x < x2 ( т о есть на интервале ( x1, x2)).

Итак, при а > 0 неравенство ax2 + bx + c > 0 выполняется всегда, кроме случая, когда

D ≥ 0 и x1≤ x ≤ x2, а неравенство ax2 + bx + c < 0 при а > 0 имеет место лишь тогда, когда

D >0 и x1 < x< x.

Пример 6. Решить неравенство x2 – 5x + 6 > 0.

Решение. Имеем D = 52 — 6·4=1 > 0.

Решив уравнение x2 — 5x + 6 = 0, находим его корни: x1 = 2, x2 = 3.

Так как, а= 1 > 0, то неравенство имеет место при x < 2 и x > 3.

Этот же результат можно получить из разложения

x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x - 3).

Наконец, решение неравенства можно найти графически: график функции

y = x2 - 5x + 6 пересекает ось Оx в точке x1 = 2 и x2 = 3 и расположен выше оси Оx при x < 2 и x > 3.

Пример 7. Решить неравенство 6x – 9 < x2.

Решение. Неравенство равносильно следующему:

x2 - 6x + 9 >0 или ( x – 3)2 > 0;

оно выполняется при всех x, кроме x = 3.

Пример 8. Решить неравенство 2х2 + 4x + 3 < 0.

Решение. Так как D=16 — 24<0 и а = 2 > 0, то данное неравенство не имеет решений.

Пример 9. Решить неравенство x2 ≤ 4x - 4.

Решение. Неравенство равносильно следующему: x2 – 4x + 4 ≤ 0 или

( x-2)2 ≤ 0; оно имеет место лишь при x = 2.

Таким образом, можно сделать вывод, что квадратные неравенства, которые тесным образом связаны с квадратным трехчленом, имеют не маловажное значение и играют очень важную роль при сдаче ЕГЭ и при поступлении в Вузы, а также играют большую роль в развитии математического мышления учащихся и вызывают интерес к теме.