Неравенство вида
ax2 + bx + c = 0,(1)
где а, b, с — действительные числа, а ≠ 0, будем называть квадратным неравенством.
Если вместо x в левую часть неравенства (1) подставить некоторое действительное число x0, то получим числовое неравенство ax + bx0 + c > 0, которое при одних значениях x0 может оказаться верным, а при других — неверным.
Иначе говоря, неравенство (1) можно рассматривать как неопределенное высказывание, которое для одних значений x является истинным, а для других — ложным. Число x0 назовем решением неравенства (1), если при подстановке вместо x числа x0 получается верное числовое неравенство ax2 + bx + c >0, то есть если квадратный трехчлен ax2 + bx + c при x = x0 принимает положительное значение.
Решить неравенство (1) — значит найти все решения этого неравенства.
Если использовать график функции y = ax2 + bx + c, то решение неравенства (1) сводится к отысканию всех тех значений x для которых точки графика функции y + ax2 + bx + c лежат выше оси абсцисс.
Наряду с неравенствами вида (1) можно рассматривать, например, такие неравенства:
ax2 + bx + c < 0, (2)
aх2 + bх + с ≥ 0, (3)
ax2 + bx + c ≤ 0, (4)
a1x2 + b1x + с1 > а2х2 + b2х + с2 (5)
Эти неравенства мы также будем называть квадратными (если в (5) а1 = а2, то это неравенство становится линейным).
Введем следующее определение. Два квадратных неравенства будем называть равносильными, если эти неравенства имеют одни и те же решения, то есть если всякое решение первого неравенства является решением второго и, обратно, всякое решение второго неравенства является решением первого.
Из этого определения следует, что
а)неравенство ax2 + bx + c < 0 равносильно неравенств - ax2 + bx + c > 0;
б)неравенство a1x2 + b1x + c1 > a2x2 + b2x + c2 равносильно неравенству
(a1 – a2) x2 + ( b1 – b2) x + c1 – c2 > 0
(при любых действительных a1, a2, b1, b2, c1, c2).
Докажем, например, первое из этих утверждений.
Пусть x0 — решение неравенства ax2 + bx + c < 0; тогда ax + bx0 + c < 0 — верное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на -1, в силу свойств неравенств получаем - ax
- bx0 – c > 0, откуда видно, что x0 — решение неравенства - ax2 – bx – c > 0.
Обратно, если x1— решение неравенства - ax2- bx – c > 0,
то - ax - bx1 – c > 0 — верное числовое неравенство, откуда находим ax
+ bx1 + c < 0, то есть x1 — решение неравенства ax2 + bx +c < 0.
Перейдем к нахождению решений квадратных неравенств. Мы ограничимся рассмотрением строгих
неравенств, то есть неравенств, содержащих знаки « > » или « < ». Такими являются неравенства (1), (2), (5). В отличие от строгих неравенства вида (3), (4) называют нестрогими
.
Заметим, что всякое строгое квадратное неравенство можно привести к одному из следующих видов:
a) ax2 + bx + c >0 при a >0; (6)
б) ax2 + bx + c < 0 при a >0. (7)
Действительно, если a < 0, то неравенство ax2 + bx + c > 0, по доказанному выше, равносильно неравенству
a1x2 + b1x + c1 < 0,
Эффективность и результативность работы педагогов дополнительного
образования
Основными показателями эффективности и результативности работы педагогов дополнительного образования в МОУ "Никифоровская средняя общеобразовательная школа №1" являются: творческие достижения обучающихся (результаты участия в выставках прикладного и технического творчества, спортивных соревнованиях, научно-практических конферен ...
Социально-экономический эффект предлагаемых мероприятий
Задача соответствия школы современным социально-экономическим реалиям требует от нее существенного обновления содержания, технологий, принципов организации образовательного процесса. Школа находится на новом этапе развития, когда количественное накопление обновленных ресурсов позволяет выходить на обновленные качественные результаты. Это ...