Неравенство вида
ax2 + bx + c = 0,(1)
где а, b, с — действительные числа, а ≠ 0, будем называть квадратным неравенством.
Если вместо x в левую часть неравенства (1) подставить некоторое действительное число x0, то получим числовое неравенство ax + bx0 + c > 0, которое при одних значениях x0 может оказаться верным, а при других — неверным.
Иначе говоря, неравенство (1) можно рассматривать как неопределенное высказывание, которое для одних значений x является истинным, а для других — ложным. Число x0 назовем решением неравенства (1), если при подстановке вместо x числа x0 получается верное числовое неравенство ax2 + bx + c >0, то есть если квадратный трехчлен ax2 + bx + c при x = x0 принимает положительное значение.
Решить неравенство (1) — значит найти все решения этого неравенства.
Если использовать график функции y = ax2 + bx + c, то решение неравенства (1) сводится к отысканию всех тех значений x для которых точки графика функции y + ax2 + bx + c лежат выше оси абсцисс.
Наряду с неравенствами вида (1) можно рассматривать, например, такие неравенства:
ax2 + bx + c < 0, (2)
aх2 + bх + с ≥ 0, (3)
ax2 + bx + c ≤ 0, (4)
a1x2 + b1x + с1 > а2х2 + b2х + с2 (5)
Эти неравенства мы также будем называть квадратными (если в (5) а1 = а2, то это неравенство становится линейным).
Введем следующее определение. Два квадратных неравенства будем называть равносильными, если эти неравенства имеют одни и те же решения, то есть если всякое решение первого неравенства является решением второго и, обратно, всякое решение второго неравенства является решением первого.
Из этого определения следует, что
а)неравенство ax2 + bx + c < 0 равносильно неравенств - ax2 + bx + c > 0;
б)неравенство a1x2 + b1x + c1 > a2x2 + b2x + c2 равносильно неравенству
(a1 – a2) x2 + ( b1 – b2) x + c1 – c2 > 0
(при любых действительных a1, a2, b1, b2, c1, c2).
Докажем, например, первое из этих утверждений.
Пусть x0 — решение неравенства ax2 + bx + c < 0; тогда ax + bx0 + c < 0 — верное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на -1, в силу свойств неравенств получаем - ax
- bx0 – c > 0, откуда видно, что x0 — решение неравенства - ax2 – bx – c > 0.
Обратно, если x1— решение неравенства - ax2- bx – c > 0,
то - ax - bx1 – c > 0 — верное числовое неравенство, откуда находим ax
+ bx1 + c < 0, то есть x1 — решение неравенства ax2 + bx +c < 0.
Перейдем к нахождению решений квадратных неравенств. Мы ограничимся рассмотрением строгих
неравенств, то есть неравенств, содержащих знаки « > » или « < ». Такими являются неравенства (1), (2), (5). В отличие от строгих неравенства вида (3), (4) называют нестрогими
.
Заметим, что всякое строгое квадратное неравенство можно привести к одному из следующих видов:
a) ax2 + bx + c >0 при a >0; (6)
б) ax2 + bx + c < 0 при a >0. (7)
Действительно, если a < 0, то неравенство ax2 + bx + c > 0, по доказанному выше, равносильно неравенству
a1x2 + b1x + c1 < 0,
Многоуровневое обучение математике в классах повышенного
педагогического внимания
Сложный контингент учащихся вынуждает педагогов искать неординарные формы и методы преподавания любой дисциплины, втом числе и математики. Среди педагогических находок в первую очередь следует назвать многоуровневое обучение. Суть его состоит в следующем. Вначале производится диагностирование базисных знаний учащихся по тому или иному ра ...
Составляющие эвристической деятельности
Одной из основных отличительных черт человека является присущая только ему осознанная и целенаправленная деятельность, которая представляет активное взаимодействие человека с объектами окружающей действительности. Простым элементом деятельности служит действие, которое понимается как целесообразный законченный акт поведения человека, нап ...