Решение квадратных неравенств

Неравенство вида

ax2 + bx + c = 0,(1)

где а, b, с — действительные числа, а ≠ 0, будем называть квадратным неравенством.

Если вместо x в левую часть неравенства (1) подставить некоторое действительное число x0, то получим числовое неравенство ax + bx0 + c > 0, которое при одних значениях x0 может оказаться верным, а при других — неверным.

Иначе говоря, неравенство (1) можно рассматривать как неопределенное высказывание, которое для одних значений x является истинным, а для других — ложным. Число x0 назовем решением неравенства (1), если при подстановке вместо x числа x0 получается верное числовое неравенство ax2 + bx + c >0, то есть если квадратный трехчлен ax2 + bx + c при x = x0 принимает положительное значение.

Решить неравенство (1) — значит найти все решения этого неравенства.

Если использовать график функции y = ax2 + bx + c, то решение неравенства (1) сводится к отысканию всех тех значений x для которых точки графика функции y + ax2 + bx + c лежат выше оси абсцисс.

Наряду с неравенствами вида (1) можно рассматривать, например, такие неравенства:

ax2 + bx + c < 0, (2)

aх2 + bх + с ≥ 0, (3)

ax2 + bx + c ≤ 0, (4)

a1x2 + b1x + с1 > а2х2 + b2х + с2 (5)

Эти неравенства мы также будем называть квадратными (если в (5) а1 = а2, то это неравенство становится линейным).

Введем следующее определение. Два квадратных неравенства будем называть равносильными, если эти неравенства имеют одни и те же решения, то есть если всякое решение первого неравенства является решением второго и, обратно, всякое решение второго неравенства является решением первого.

Из этого определения следует, что

а)неравенство ax2 + bx + c < 0 равносильно неравенств - ax2 + bx + c > 0;

б)неравенство a1x2 + b1x + c1 > a2x2 + b2x + c2 равносильно неравенству

(a1 – a2) x2 + ( b1 – b2) x + c1 – c2 > 0

(при любых действительных a1, a2, b1, b2, c1, c2).

Докажем, например, первое из этих утверждений.

Пусть x0 — решение неравенства ax2 + bx + c < 0; тогда ax + bx0 + c < 0 — верное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на -1, в силу свойств неравенств получаем - ax - bx0 – c > 0, откуда видно, что x0 — решение неравенства - ax2 – bx – c > 0.

Обратно, если x1— решение неравенства - ax2- bx – c > 0,

то - ax - bx1 – c > 0 — верное числовое неравенство, откуда находим ax + bx1 + c < 0, то есть x1 — решение неравенства ax2 + bx +c < 0.

Перейдем к нахождению решений квадратных неравенств. Мы ограничимся рассмотрением строгих

неравенств, то есть неравенств, содержащих знаки « > » или « < ». Такими являются неравенства (1), (2), (5). В отличие от строгих неравенства вида (3), (4) называют нестрогими

.

Заметим, что всякое строгое квадратное неравенство можно привести к одному из следующих видов:

a) ax2 + bx + c >0 при a >0; (6)

б) ax2 + bx + c < 0 при a >0. (7)

Действительно, если a < 0, то неравенство ax2 + bx + c > 0, по доказанному выше, равносильно неравенству

a1x2 + b1x + c1 < 0,