Методика работы с геометрическими образами

Решение: Так как плоскости параллельны и прямые параллельны, то АА1 = ВВ1 = СС1 = DD1. A1D1DA, B1C1CB, A1B1BC, C1D1DC – параллелограммы (для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно равенства и параллельности одной пары его сторон). Тем самым выполняются свойства параллельного переноса: точки смещаются по параллельным прямым на одно и тоже расстояние; каждая прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 совмещаются параллельным переносом.

Эти задания в отличие от предыдущих (см. 4.2.1) предполагают более сложные мыслительные преобразования исходного геометрического образа, затрагивающие его структурные изменения. Следить в «уме» за этими изменениями довольно трудно. К сожалению, в практике обучения, чтобы снять эту трудность ученикам рекомендуется использовать бумажные модели, позволяющие путем реальных манипуляций с ними, найти новую структурную конфигурацию. Конечно, такой методический прием облегчает многим ученикам выполнение этих заданий. Но использовать его как обязательный, по-видимому, не следует, так как он тормозит деятельность воображения.

Такие задания могут быть составлены на разном учебном материале, важно, чтобы они включали геометрические преобразования (поворот, осевую симметрию, параллельный перенос и т.п.).

Такие задачи можно решать в уме, по словесному описанию, а можно сначала сделать исходный чертеж, а затем уже мысленно выполнять требуемые преобразования.

Пример 8: Дан ∆АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС – в точке В1. Найдите длину отрезка А1В1, если АВ = 15 см, и АА1:АС = 2:3 (рис. 9).

Решение: Для построения используется признак параллельности прямой и плоскости.

АВ || А1В1, тогда ∆АВС ~ ∆А1В1С1.

(по свойству преобразования подобия). Найдем искомое:

. Следовательно, А1В1 = 5 см.

Эти задания наиболее сложные. Они предполагают неоднократные преобразования образа фигуры и по положению, и по структуре одновременно, что приводит к созданию нового геометрического образа. Подобные задания хорошо развивают пространственное мышление, подготавливают учащихся к решению целого ряда конструктивно-технических (технологических) задач, что особенно важно для обеспечения единой линии развития пространственное мышления в системе непрерывного образования (особенно технического).

К сожалению, эти задания используются на уроках очень мало, учителя их относят к заданиям повышенной трудности. С их помощью проверяется возможность ученика последовательно осуществлять мысленные преобразования образа, изменяющие его пространственное положение и структуру. Эти преобразования могут осуществляться по отношению к структуре замкнутой фигуры (ее внутреннего пространства), а могут изменять ее положение и структуру по отношению к другим фигурам (ее внешнее пространство).

Описанные задания на все три типа оперирования геометрическими образами отличаются тем, что в них и создаваемый исходный образ, и его видоизменения осуществляются в уме, без опоры на чертеж, что придает им диагностическую ценность. С помощью таких заданий можно установить, как ученик оперирует образом, что его особенно затрудняет. При этом удается оценить не только, какой образ возникает, но и как он создается и преобразуется каждым учеником. Использование этих заданий в практике экспериментального обучения показало, в частности, что при создании образа (оперировании им) ученики используют различные способы:

отображение фигуры по отдельным элементам (точкам, отрезкам) и их последующее объединение;

отображение сначала одного, целостного элемента (прямая, луч, полуплоскость) и последовательное «достраивание» в уме остальных элементов;

оперирование целостным образом фигуры и экстраполяция искомого результата.

Если тот или иной способ (его использование) носит устойчивый характер (что легко проверить при предъявлении серии заданий), можно говорить об индивидуальных проявлениях способов работы с образом и по ним судить об уровне развития пространственное мышления. Отметим, что при использовании каждого способа можно правильно решить задачу, но с точки зрения оценки пространственное мышления эти способы не равнозначны.