Понятие квадратного трехчлена и квадратичной функции

Заметим, что в этом случае оба корня x1, x2 действительны, причем x1¹ x2 (то есть уравнение в самом деле имеет два корня).

Б) если число D равно нулю, то уравнение (4) принимает вид:

Но квадрат числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю, и поэтому мы отсюда получаем

x = 0, или x = -.

Итак, при D=0 уравнение (4), а значит и уравнение x2 + bx + c = 0, имеет только один

корень x = -, то есть существует только одно число

( а именно -), удовлетворяющее этому уравнению. Однако в целях единообразия считают, что и в этом случае уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня, только они оба совпадают. Иными словами, условно считают, что и при D = 0 уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня:

X1 = X2 = -

Заметим, что то же получается и из формул (5), поскольку D = 0. Таким образом, если мы условимся при D = 0 считать корень X = - два раза (или, как еще говорят, уславливаемся считать его двукратным корнем), то формулы (5) для корней сохраняют силы и в этом случае. Мы увидим, что и во многих дальнейших случаях это соглашение (считать при D = 0 корень двукратным) оказывается очень удобным: иначе во многих теоремах приходилось бы делать специальные оговорки, относящиеся к этому случаю. Поэтому в математике всегда принято считать, что при D = 0 уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два совпадающих корня. Однако отдаем себе ясный отчет в том, что это лишь условное соглашение:

при D = 0 из всех действительных чисел только одно ( а именно - ) удовлетворяет уравнению ax2 + bx + c = 0.

В) Осталось рассмотреть случай, когда D отрицательно. В этом случаи и число отрицательно. А так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то, значит, в этом случае уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней

. Как мы знаем, существует два комплексных числа, квадрат каждого из которых равен отрицательному числу D. Эти числа являются чисто мнимыми и притом сопряженными. Если мы условимся одно из них (безразлично, какое) обозначать через , то другое будет равно

-.

Тогда числами, квадрат каждого из которых равен отрицательному числу ,будут чисто мнимые числа и - (а других таких чисел не существует). Но согласно (4) x + есть число, квадрат которого равен.

Следовательно, x удовлетворяет уравнению (4), а значит и уравнению

ax2 + bx + c = 0, в двух случаях:

1)Если x + (и тогда x = );

2)Если x + (и тогда x = ).

Таким образом, и в этом случае (то есть при D < 0) уравнение ax2 + bx +c = 0

Имеет два корня, вычисляемые по формулам (5) и являющиеся комплексно сопряженными числами. Еще раз подчеркну, что это утверждение имеет лишь условный смысл – если мы уславливаемся через обозначать какое-либо одно из комплексных чисел, квадрат которого равен отрицательному числу D. Это, в самом деле, лишь условное соглашение, так как знак «» используется, по определению, для обозначения арифметического корня из положительного действительного числа, а в комплексной области этот знак однозначного смысла не имеет. Тем не менее, уславливаются при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом всегда считать, что обозначает одно из двух чисел, квадрат которого равен D. Тогда формулы (5) для корней сохраняют смысл и при D <0.