Понятие квадратного трехчлена и квадратичной функции

В различных источниках, понятие «квадратного трехчлена», дается по – разному. В одних, квадратный трехчлен

– это многочлен второй степени с одной переменной

ax2 + bx + c, (1)

где x- переменная; a,b – коэффициенты, с- свободный член, a¹0. В других, квадратным трехчленом относительно x называется выражение вида ax2+bx+c, где a,b,c – некоторые числа, причем a¹0. Числа a,b,c называются коэффициентами квадратного трехчлена. В дальнейшем будем предполагать, что a,b,c – действительные числа.

Значения x, при которых квадратный трехчлен ax2 + bx + c обращается в нуль, называются корнями трехчлена. Таким образом, для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение:

ax2 + bx + c = 0. (2)

Напомним, каким образом находятся корни квадратного уравнения; при этом мы несколько уточним факты, обычно излагаемые в школьном курсе. Для решения квадратного уравнения пользуются приемом «выделение полного квадрата», то есть записывают его в виде (напомним, что a ¹ 0):

ax2 + bx + c = a(x2 + x) + c = a (x2 + 2x) + c = a (x2 + 2x + ) + c - = a (x + )2 -

Таким образом, уравнение ax2 + bx + c=0 можно записать в виде:

a (x+)2 - = 0,

Или (перенося дробь в правую часть и поделив на a ) в виде:

(x + )2 = (3)

При этом уравнение (3) равносильно уравнению ax2 + bx + c = 0, то есть имеет те же корни, что и уравнение ax2 + bx + c.

В самом деле, если некоторое число x удовлетворяет уравнению

ax2 + bx + c = 0

то как показывают проведенные выкладки, оно удовлетворяет и уравнению (3) . Но эти выкладки можно провести и в обратном порядке, то есть если число x удовлетворяет уравнению (3), то оно удовлетворяет и уравнению

ax2 + bx + c = 0.

Иными словами, равенство ax2 + bx +c = 0 представляет собой неопределенное высказывание, которое для одних значений x (а именно для корней трехчлена) является истинным, а для других – ложным. Эквивалентность уравнений

ax2 + bx + с = 0 и (3) заключается в том, что эти два неопределенных высказывания одновременно истинны и ложны. Итак, остается решить уравнение (3). Обычно число b2 - 4ac обозначают через «D»и его называют дискриминантом

квадратного трехчлена.

Таким образом, уравнение (3) можно записать так:

(x + )2 =, где D=b2- 4ac (4)

Теперь предлагаются три различных случая – в зависимости от того, каким является число D:

А)Если число D положительно, то положительно и число . Поэтому существуют два числа, квадрат каждого из которых равен : это будут числа и -(где, как всегда, - арифметический корень из положительного числа D). Но согласно (4) x+ как раз есть такое число, квадрат которого равен . Значит, x удовлетворяет уравнению (4) в двух случаях:

1) если x + = (и тогда x = )

2) если x + = (и тогда х = )

Итак, при D>0 уравнение (4), а значит и уравнение ax2 + bx + c = 0, имеет два корня:

X1=, X2=, Где D=b2-4ac (5)