Понятие квадратного трехчлена и квадратичной функции

Утверждение № 4

График квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + c симметричен относительно прямой q0, которая проходит через точку А (-; 0) и параллельна оси ординат (или совпадает с ней).

Чтобы доказать это утверждение, даем два произвольных значения x1 и x2 переменной, симметричных относительно точки x0 = -, и, используя равенство (7), находим, что соответствующие значения функции равны. Можем также дать произвольное значение x3 переменной, получив точку P(x3; f(x3)) графика функции, и показываем, что точка Q, симметричная точке P относительно прямой q0, тоже принадлежит графику.

График квадратичной функции является кривой линией, которая называется параболой.

Прямая

q0 и (-; ) называются соответственно осью и вершиной параболы. Известно, что ось абсцисс содержит те и только те точки, ординаты которых равны 0. Значит, чтобы установить, при каких значениях аргумента x квадратичная функция принимает значения, равное 0, нужно проверить, имеет ли парабола хотя бы одну общую точку с осью абсцисс тогда и только тогда, когда ордината ее вершины ≤ 0, то есть когда b2-4ac ≥ 0. Число b2 – 4ac обозначается через D и называется дискриминантом, как квадратичной функции, так и квадратного уравнения:

ax2 + bx + c = 0 (9)

Следовательно, если a>0, то:

При D>0 уравнение (9) имеет различные действительные корни x1 и x2;

При D=0 уравнение (9) имеет один действительный корень;

При D<0 уравнение (9) не имеет действительных корней.

Если a < 0, парабола имеет хотя бы одну общую точку с осью абсцисс тогда и только тогда, когда ордината ее вершины ≥ 0, то есть когда

4ac – b2 ≤ 0 или когда D ≥ 0.

Таким образом, снова получаем тот же вывод.

Из этих рассуждений и утверждений 2 и 3 следует, что при a > 0 возможны такие случаи:

А) При D > 0 и x1 < x2 функция принимает значения, равные 0, для значений переменной x1 и x2, положительные значения для каждого

x Î ( - ¥, x1) È ( x2; + ¥ ),

отрицательные значения для каждого x Î (x1; x2).

Б) При D = 0 функция принимает значение, равное 0, только для значений переменной x1 и x2 = -, положительные значения для каждого x ¹ - ; В) При D < 0 функция принимает положительное значение для каждого значения переменной. Аналогично, если a < 0, то:

А) При D > 0 и x1 < x2 функция принимает значение, равное 0, для значений переменной x1 и x2, отрицательные значения для каждого

x Î ( - ¥; x1 ) È ( x2; + ¥ ), положительные значения для каждого

x Î ( - ¥; x1 ) È ( x2; + ¥ ), положительные значения для каждого xÎ ( x1;x2 ).

Б) При D = 0 функция принимает значение, равное 0, только для значения переменной x1 = x2 = -, отрицательные значения для каждого x ¹ - ;

В) При D < 0 функция принимает отрицательные значения для каждого значения переменной.

Можно особо отметить, что если D < 0, то для каждого значения переменной знак значения функции совпадает со знаком коэффициента a.

Все эти свойства, содержащиеся в утверждениях 1 – 3, могут быть отражены в схеме, изображенной на рисунке (на каждом из чертежей ось ординат не показана, поэтому, что это обычно не имеет существенного значения при рассмотрении указанных свойств).

Таким образом, тема: «квадратный трехчлен» является основной в курсе алгебры, которая теснейшим образом связана с квадратичной функцией. Изложенный выше материал полезен для дальнейшей работы с квадратными неравенствами (по одному возможному способу при помощи графика квадратичной функции) и до некоторой степени с квадратными уравнениями.