Понятие квадратного трехчлена и квадратичной функции

Квадратный трехчлен тесно связан с квадратичной функцией.

Функция вида

f (x) = ax2 + bx + c (6)

где a ≠0, b и c – постоянные, а переменная x принадлежит множеству R действительных чисел, называется квадратичной функцией.

Из определения ясно, что квадратичной является и каждая из функций

F(x) = ax2 + bx, ( где b=0, с≠0),

y = ax2 + c , (где b=0, c = 0)

Утверждение №1

Если a≠0, то

ax2 +bx +c= a x+ (7)

Это тождество легко доказать преобразованием правой части. Немного труднее преобразование левой части путем выделения точного квадрата. Используя это утверждение и равенство (6), можно записать такую схему:

На основании равенства (7) легко доказать следующее утверждение:

Утверждение № 2

Квадратичная функция при:

А) a>0 имеет глобальный минимум

y0 = , при x0 = -;

Б) a<0 имеет глобальный максимум

y0 = , при x0 = -

Ясно, что в каждом из двух случаев соответствующий экстремум является единственным и совпадает с наибольшим или наименьшим значением функции на R. Утверждение № 2 можем толковать и в связи с графиком квадратичной функции: при традиционном расположении координатной системы на плоскость. ( -; ) при a>0 является самой нижней точкой графика функции, а при a<0 – самой верхней точкой графика.

Утверждение №3

Квадратичная функция при:

a) a >0 убывает на промежутке

D1 = (- ∞; -] и возрастает на промежутке

D2 = [- ; + ∞);

б) a<0 возрастает на промежутке D1 и убывает на промежутке D2.

Доказательство:

Докажем, что при a > 0 на интервале D1 убывает. Дадим произвольные различные значения x1 и x2 переменной, и для определенности пусть

x1< x2< - (8)

Обозначим a ( x1+ ) + через f (x1), а a( x2 + )2 +

через f (x2). Тогда достаточно доказать, что f (x1)> f (x2).

На основании (8) последовательно находим

x1 + < x2 + < 0,

откуда

-(x1 + ) > -(x2 + ) > 0, (x1 + )2 > (x2 + )2,

a (x1 + )2 + > a (x2 +)2 + ,

то есть f (x1) > f (x2). Следовательно, на интервале D1 квадратичная функция убывает.

К этому выводу короче можно прийти следующими рассуждениями:

f (x2) – f (x1) = a (x - x) + b (x2 – x1) =

( x2 – x1) (a (x2 + x1) + b) < (x2 – x1) ( a (x2 – x1) (a ( -) + b ) = 0,

откуда, f (x1) > f (x2).

Аналогичным образом рассматриваем и остальные случаи. При помощи производной функции утверждения 3 можем доказать, используя необходимое и достаточное условие убывания или возрастания функции. Утверждение 2 доказывается с использованием производной функции, точнее, с помощью достаточного условия существования локального экстремума.

Далее, предварительно вспомнив определение графика функции, можем приступить к изучению свойств графика квадратичной функции с рассмотрения еще одного утверждения.