Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами

Квадратные уравнения и неравенства - одни из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую - то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение (или систему уравнений) для определения неизвестной величины.

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами встречаются во многих вступительных и выпускных экзаменах. Но в учебниках школьного курса слишком мало практики, на мой взгляд, для успешного выполнения данных уравнений и неравенств на экзамене.

Рассмотрим несколько примеров квадратных уравнений и неравенств с параметрами, чтобы лучше понять, в чем состоит суть их решения.

При решении квадратных уравнений с параметрами рассматриваются два случая:

1) Первый коэффициент равен нулю, тогда квадратное уравнение превращается в линейное;

2) Первый коэффициент не равен нулю.

Решим уравнение 1.

(a – 1) x2 + 2 (2a +1) x + (4a + 3) = 0

Решение. В данном случае контрольным является значение a = 1. Дело в том, что при a = 1 это уравнение является линейным, а при a ≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения.) Значит, целесообразно рассмотреть уравнение как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) a = 1; 2) a ≠ 1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a = 1 уравнение примет вид 6x + 7 = 0.

Из этого уравнения находим x = -.

2) Из множества значений параметра a ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D = 0 при a = a0, то при переходе значения D через точку a0 дискриминант может изменить знак ( например, при a < a0 D > 0). Вместе с этим при переходе через точку a0 меняется и число действительных корней квадратного уравнения ( в нашем примере при a < a0 корней нет, так как D < 0, а при a > a0 D > 0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения:

D = 4 (2a + 1)2 – 4 ( a - 1)( 4a + 3 ) = 16a2 + 16a + 4 - 16a2 + 16a – 12a + 12 = 20a + 16 = 4 (5a +4 )

При a = -, D = 0; уравнение имеет корень x =

При a < - , D ≤ 0 уравнение не имеет действительных корней.

При a > - , D > 0 уравнение имеет два различных действительных корня.

X = - (2a + 1)

Таким образом, если a < -, то действительных корней нет, если a = 1, то x = -.

2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

|x2 – 1| + |x2 – x – 2| - x – a = 0 имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде |x2 - 1|+|х2 – x – 2|= x + a и рассмотрев пару функций

f(x) =|х2 -1|+| x2 - x - 2|, g(x) = x + a, можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции g(x), при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции f(x).

3. Найти все значения параметра a.

ax2 + 2x(a +3) + a + 2 = 0,

поделим на a

x2 + 2(

)

x + (1 + ) = 0,

пусть x1, x2 – корни уравнения

x1x2 =

x1 + x2 = -

так как x1 ≥ 0 и x2 ≥ 0, то

x1,2 ≥ 0 и x1 + x2 ≥ 0

Ответ: x ≥ 0 при a Î [ -3 ; -2 ].

Таким образом, для успешного решения уравнений с параметрами необходимо последовательно рассматривать решение от простых уравнений, решение которых можно изобразить графически к более сложным уравнениям, где требуется абстрактное представление и выбор конкретного решения.

Способы решений неравенств с параметрами.

1) При каких значениях параметра a имеет решение система

x2 + (5a +2)x + 4a2 + 2a < 0 (1)

x2 + a2 = 4 (2)

Решение:

Найдем корни трехчлена левой части неравенства -

x1 = -4а - 2,