Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 класса

3)Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, а равносторонний треугольник — три оси симметрии. Прямоугольник и ромб имеют по две оси симметрии, а квадрат — четыре оси симметрии.

Сформулируйте аналогичные утверждения для многоугольников.

Анализ расположения центров симметрии для конкретных многоугольников — треугольника и четырехугольника, позволяет сделать вывод о том, что никакая из их вершин не может быть его центром симметрии. Обобщая этот вывод мы можем сформулировать гипотезу для многоугольника:

· Вершина многоугольника не может быть центром его симметрии.

Сформулируем аналогичное утверждение для осей симметрии:

· Прямая, содержащая сторону треугольника, не может быть осью его симметрии.

Аналогия свойств центров и осей симметрии треугольника и четырехугольника, с одной стороны, и многоугольника с другой позволяет сформулировать следующие утверждения:

Отметим, что возможно использование приема аналогии для получения свойств центров и осей (а также плоскостей) симметрии стереометрических фигур, например, тетраэдра, четырехугольной призмы.

Суть данного приема состоит в следующем: наряду с исходной задачей формулируем аналогичную, похожую, но более простую для нас вспомогательную задачу; решаем эту вспомогательную задачу, разбивая решение на отдельные этапы («шаги»); пытаемся провести аналогичные рассуждения на каждом «шаге» применительно к исходной задаче.

Естественно применять аналогию к решению стереометрических задач, при этом каждый раз ученик самостоятельно формулирует для себя уже известную и решенную планиметрическую задачу.

Метод обобщения. Переход от данной задачи к ее обобщению также нередко позволяет обнаружить способ решения исходной задачи. В самом деле, к более общей задаче могут оказаться применимы методы, которые не применимы к исходной задаче.

8 класс

Пример. Исходная задача. Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки M до сторон равностороннего треугольника равна высоте этого треугольника.

Более результативная вспомогательная задача. Доказать, что для любой точки M, принадлежащей произвольному ΔABC со сторонами a, b, c и высотами ha, hb, hc ,справедливо равенство x/ha+y/hb+z/hc=1, где x, y, z — соответственно расстояния от точки M до сторон BC, AC, AB.

		B

Соединив точку M с вершинами A, B, C, получим три треугольника ΔBMC, ΔAMC, ΔAMB, высоты которых соответственно равны x, y, z. Пусть S — площадь ΔABC, тогда S=½(ax+by+cz). С другой стороны, S=½aha, S=½bhb, S=½chc. Комбинируя эти равенства, находим

x/ha+y/hb+z/hc=1.

В равностороннем треугольнике ha=hb=hc=h, а поэтому x+y+z=h.

Т.е. сумма расстояний от произвольной точки, принадлежащей равностороннему треугольнику до его сторон постоянна и равна высоте треугольника.

9 класс.

Пример. Исходная задача. Дан параллелограмм ABCD. Укажите способ для его разбиения на 11 равновеликих частей прямыми, проходящими через вершину A.

Сформулируем обобщение данной задачи:

Более результативная вспомогательная задача. Как разбить параллелограмм ABCD прямыми, проходящими через вершину A, на n равновеликих частей, где n — любое заданное натуральное число.

Есть ли такие n, для которых мы умеем решать полученную задачу?

Т.е. для всех n=2k данная задача имеет решение.

Рассмотрим случай, когда n — четно.

Например, n=6.

D

Т.о., если n=2k, то решение задачи сводится к разбиению отрезков BC и CD на k конгруэнтных отрезков точками M1,M2,M3…Мk=C и N1,N2,N3,…Nk=D соответственно.

Затем точки деления соединяем прямыми с вершиной A.

Теперь рассмотрим нечетные n.

Например, n=3.

Решение задачи для n=2k+1 сводится к разбиению отрезков BC и CD на n конгруэнтных отрезков точками M1,M2,M3…Mn=C и N1,N2,N3,…Nn=D соответственно.

Затем точки деления с четными номерами соединяются прямыми с вершиной A.

Решение исходной задачи для n=11: делим отрезки BC и CD на 22 равных отрезка и соединяем точки, имеющие четные номера с вершиной A.