Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 класса

В предельном положении, когда ΔABC вырождается в точку, его периметр равен нулю и, значит, меньше R.

Понятно, что то же неравенство сохраняется для малых треугольников, «близких» точке A.

Следовательно утверждение задачи не верно.

Пример. Докажите, что сумма расстояний от любой точки M, лежащей на контуре правильного ΔABC или внутри него, до сторон треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения этой точки.

Замечание. Известно, что эту задачу легко решить с помощью формулы для площади треугольника, но семиклассники эту формулу еще не знают. Поэтому при решении можно воспользоваться индуктивными соображениями и рассмотреть такие случаи: а) точка M — вершина ΔABC; б) точка M — на стороне ΔABC (например, M принадлежит BC), этот случай сводиться к предыдущему, если через M провести прямую MN||AC, положить A´=MN AB, тогда M — вершина ΔA´BC; в)(общий случай) M — произвольная точка внутри ΔABC, этот случай сводится к б), если провести прямую MN||AC, рассмотреть точки A´=MN AB, C´=MN BC и ΔA´BC´.

8 класс.

Пример. Исходная задача. В четырехугольнике ABCD две стороны AD и BC не параллельны. Что больше: полусумма этих сторон или отрезок MN, соединяющий середины двух других сторон четырехугольника?

		C

Рассмотрим предельный случай, когда одна из сторон четырехугольника стягивается в точку. Можно стягивать в точку либо BC (или AD), либо AB (или CD). Выберем первый путь: пусть BC стягивается в точку B. В предельном положении точка N совпадает с серединой K отрезка BD, и MN становится средней линией MK ΔABD. В предельном случае получаем такую вспомогательную задачу:

Вспомогательная задача. Что больше, половина стороны AD ΔABD или отрезок MK, соединяющий середины двух других сторон?

			B(C)

Ответ общеизвестен: MK=½AD.

Нетрудно видеть, что решение исходной задачи можно свести к рассмотренному предельному случаю.

	A					D

Пусть K — середина диагонали BD четырехугольника ABCD. Из ΔABD имеем MK=½AD и MK||AD, из ΔBCD имеем KN=½BC и KN||BC. Так как по условию AD||BC, то M, K и N — не на одной прямой. Из ΔMKN видно, что MN<MK+KN=½(AD+BC).

Т.о. мы ответили на вопрос исходной задачи: MN<½(AD+BC).

Замечание. Если мы при поиске решения пойдем по другому пути и будем стягивать в точку сторону AB, то придем к другому предельному случаю (MN — медиана ΔCMD), который подскажет другой путь решения (параллельный перенос отрезков AD и BC так, чтобы A и B перешли в точку M).

Пример. Две окружности радиусом r и R (R>r) не имеют общих точек. Постройте их внешнюю касательную.