Методические рекомендации по формированию эвристической деятельности при решении задач курса геометрии 7-9 класса

Можно заметить, что поиск решения предложенной задачи значительно упрощается, если предварительно решить такую вспомогательную задачу, которая имеет сходное условие с задачей, но в которой условие или некоторые данные получаются из условия или данных исходной задачи путем предельного перехода. Т.е. некоторые из фигур, о которых говорится в исходной задаче, заменяются их предельными положениями. Например, если в исходной задаче речь идет о секущей к окружности, то мы вместо нее во вспомогательной задаче рассматриваем касательную (предельное положение секущей, когда расстояние ее от центра стремиться к радиусу); если в условии говорится о четырехугольнике, то во вспомогательной задаче можно рассмотреть треугольник (предельное положение четырехугольника, когда длина одной из его сторон стремится к нулю). Разумеется, для одной и той же задачи можно подобрать различные предельные случаи.

Метод аналогии. Аналогия означает сходство. Давно было замечено, что сходство условий нередко приводит к сходству заключений. Логики и философы многократно и справедливо обращали внимание на то, что это не всегда так, что аналогия не может служить доказательством. Однако в огромном количестве случаев гипотезы, построенные по аналогии, все же оказываются верными. Это обстоятельство очень полезно при поиске решения математических задач.

7 класс

В 7 классе изучение геометрии только начинается, только приобретаются навыки решения геометрических задач. Поэтому метод аналогий целесообразно применять для определения новых понятий. Например, признаки равенства прямоугольных треугольников можно сформулировать опираясь на аналогичные признаки равенства произвольных треугольников или, как уже говорилось выше, применяются аналогичные схемы доказательства признаков равенства треугольников.

8 класс

Пример. Исходная задача. Зная стороны a, b, c ΔABC, вычислите радиус r1 окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC.

Сформулируем более простую или известную нам задачу.

Вспомогательная задача. Зная стороны a, b, c ΔABC, вычислите радиус r описанной окружности.

Если рассмотреть решение этой задачи, разбить его на отдельные простейшие «шаги», то можно легко обнаружить. Что решение исходной задачи можно получить по аналогии с решением вспомогательной. Для этого достаточно провести аналогию на каждом «шаге» решения.

1. Соединим центр O вписанной окружности с вершинами ΔABC.	1. Соединим центр O1 данной окружности с вершинами ΔABC.
A 2. SΔABC=SΔAOB+SΔAOC+SΔBOC (1) 3. Обозначим SΔABC через S, тогда по формуле Герона: S=√p(p-a)(p-b)(p-c). 4. SΔAOB=½cr, SΔAOC=½br, SΔBOC=½ar. 5. Из (1) следует S=½(c+b+a)r=pr, откуда r=s/p или r=√(p-a)(p-b)(p-c)/p.	2. SΔABC=SΔAO B+SΔAO C-SΔBO C (1) 3. То же. 4. SΔAO B=½cr1, SΔAO C=½br1, SΔBO C=½ar1. 5. Из (1) следует S=½(c+b-a)r=(p-a)r1, откуда r1=s/(p-a) или r1=√(p(p-b)(p-c)/(p-a).

Пример. Постройте точку P, делящую внешним образом отрезок AB в данном отношении m:n, где m и n — данные отрезки, m>n.

Замечание. Иными словами, точка P должна лежать на продолжении отрезка AB, причем AP/PB=m/n.

Предварительно следует сформулировать аналогичную и более простую задачу — деление отрезка в отношении m:n внутренним образом, и вспомнить ее решение.

9 класс.

Пример. При изучении вопроса о центрах и осях симметрии многоугольников, опираясь на уже известные утверждения об этих объектах конкретных многоугольников: треугольника и четырехугольника, можно сформулировать задачу об исследовании существования и расположения центров и осей симметрии многоугольника.

Задача. 1)Треугольник не имеет центра симметрии.

2)Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей. Параллелограмм имеет только один центр симметрии.