Функция корня

п.2 Функция корня при - нечетном

При нечетном функция , рассмотренная на интервале , монотонна уже во всем этом интервале, причем, при , поэтому теперь она имеет обратную функцию с областью определения . Эту функцию также обозначают через

(7)

и называют корнем - ой нечетной степени из .

Множество значений этой функции есть также интервал ; она будет, как и функция , монотонно возрастающей в [9].

График рассматриваемой функции является зеркальным отражением графика функции в 1-ой и 2-ой координатной плоскости [2].

Отметим также же, что при любом натуральном и , очевидно .

Степенная функция с положительным рациональным показателем

Определим функцию для дробного положительного рационального показателя .

Любое рациональное положительное число может быть (и притом единственным образом) представлено в виде частного двух взаимно простых натуральных чисел и , то есть . Исходя из этого, по определению полагают:

(8).

При таком определении каждому , при котором существует, сопоставляется единственное число , и, следовательно, здесь есть функция от . Её и называют степенной функцией с положительным рациональным показателем (степенная функция с целым положительным показателем может быть рассмотрена как частный случай () функции (8), и оговорка, что рациональный показатель является дробным, излишне) [9]. Для степеней с рациональными показателями справедливы все свойства степеней с рациональными показателями:

1.

2.

3. ;

4.

5. .

Установим область определения функции (8). При нечётном , функция (7) определена на , поэтому при нечётном и функция (8) имеет областью существования . Если же - чётное число, то прежде всего - нечётно (иначе дробь была бы сократимой). Но функция (7) при чётном определена только при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, в (8) должно быть , или, что то же ( - нечётно) , то есть при чётном , область существования функции (8) есть полусегмент .