Функция корня

(6)

в такой форме оно верно для любых .

Вместо пишут также .

Равенства (1) - (3) принимают вид:

[2].

Отметим также некоторые свойства арифметического корня.

1. В соответствии с определением арифметического корня для всех верны равенства и .

2. , при .

3. , при .

4. .

Действительно, в соответствии с определением арифметического корня корнем -ой степени из числа называется такое число, -ая степень которого равна , то есть =, если .

Пусть левая часть записанного равенства представляет собой корень -ой степени из числа .

Обозначим левую часть равенства за . Если возведем в степень и получим в результате , то данное свойство будет доказано.

Возведем правую часть равенства, то есть в - ую степень .

На основании первого свойства арифметического корня выражение в прямоугольных скобках есть , то есть , следовательно, , значит, есть корень - ой степени из .

Остается доказать, что , так как по условию арифметического корня , то - в целой степени , где .

5. , где .

Действительно, уже доказано, докажем . Рассмотрим , тогда .

Если , то можно переписать следующим образом, воспользовавшись правилом возведения в степень при целых показателях, можно записать , то есть является , то есть , но , значит, .