Функция корня

Отметим, что если , то несущественно, будет ли в определении функции (8) несократимой дробью или нет, ибо тогда при , (где и взаимно просты) области существования функций и одинаковы и вместе с тем и , откуда , (). (*)

Отсюда , так как в противном случае в силу монотонности степенной функции было бы , что противоречит (*).

В частности, при любом натуральном

.

При чётном (-нечётно) функция (8) является чётной: , а при нечётном и нечётном - нечётной: .

Исследуем теперь на монотонность. Вначале проведём это исследование на . Выше было показано, что функция при натуральном монотонно возрастает на , так, что если , то при и . Но функция (только обозначением аргумента отличающаяся от функции ) монотонно возрастает на , поэтому при и , или , то есть при , и, значит, монотонно возрастает на .

Если чётно, то функция (8) определена только на этом полусегменте, и поэтому при чётном дальнейшего исследования этой функции на монотонность проводить не нужно. Пусть теперь нечётно. Тогда функция (8) определена и на . И можно проводить дальнейшее исследование на монотонность.

Если и чётно, то, по доказанному выше, функция (8) нечётна и значит, монотонно возрастает и на полусегменте , если же чётно, точно, также по доказанному выше, эта функция чётна и, следовательно, монотонно убывает на .

Легко понять теперь, что при чётном и чётном функция (8) не монотонна в , тогда как при нечётном и нечётном она монотонно возрастает во всём интервале .